第14章 线性动态电路的 复频域分析
重点
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤
(3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
例
一些常用的变换
对数变换
乘法运算变换为加法运算
相量法
时域的正弦运算变换为复数运算
拉氏变换
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
正变换
反变换
积分域
今后讨论的均为0 ? 拉氏变换。
[0? ,0＋]区间 f(t) =?(t)时此项 ? 0 象函数F(s) 存在的条件：
如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)
原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
3.典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数的象函数
(3)指数函数的象函数
(2)单位冲激函数的象函数
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
证
例1
解
例2
解
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。
2. 微分性质
证
若?足够大
例
解
利用导数性质求下列函数的象函数
推广：
解
3.积分性质
证
应用微分性质
例
解
4.延迟性质
证
例1
例2
求矩形脉冲的象函数
解
根据延迟性质
求三角波的象函数
解
求周期函数的拉氏变换
设f1(t)为一个周期的函数
例3
解
对于本题脉冲序列
5.拉普拉斯的卷积定理
证
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数
(3)把F(s)分解为简单项的组合
部分分式展开法
利用部分分式可将F(s)分解为：
象函数的一般形式
待定常数
待定常数的确定：
方法1
方法2
求极限的方法
令s = p1
例
解法1
解法2
原函数的一般形式
K1、K2也是一对共轭复数
例
解
例
解
? n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和
由F(s)求f(t) 的步骤：
求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式
求各部分分式的系数
对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换