西瓜种植方案的优化模型 徐强 徐晓林 叶会考 摘要 本课题是在一定的市场条件、规则下，探讨一个小型自由市场唯一的三位瓜农西瓜种植成本投入策略的问题。在四个不同问题条件下研究如何决策西瓜种植方案，使瓜农获得最大利润。 问题一：文中首先引入经济活动中“理性人”这一概念，初步确定张三、李四和王五的种植量范围，使问题得到简化，然后文中采用多目标规划思想建立了一个“多目标规划模型”。经过模型的变换并求解，得出在该情况下， 张三、李四和王五的产量分别为9993个、9993个和10415个，收益分别为12330.96元、 12330.96元和12330.94元为最优。 问题二：文中建立张三利润模型，利用MATLAB编程求解，得知张三静观而后动能提高自身利润，此时张三产量为25001个，收益为17717.36元。 问题三：文中巧妙引入“0-1变换”，使所建模型简而精炼。在李四王五利润分配时，文中采用两人“贡献率权重”进行分配。求解到最优方案为：王五种植26250个，李四不种。此时二者总利润为27569.85元，李四、王五获利分别为13489.93元和14079.92元。 问题四：三人合作，相当于三人将“市场垄断”，文中将三人看做一个供应商采用合作对策论，建立“合作对策模型”，最后问题三中同样分配方式进行分配，得出如下结果：三者总种植量位31250个（由李四或王五单独种植），总利润为39062.50元。张三、李四和王五利润分别为12832.00元、12832.00元和13398.50元。 文中还运用了“分类讨论”与“极端假设思想”，“非线性规划的最优化求解”等方法，对各种条件下的方案作出了较为合理的选择。讨论了模型的优缺点及改进的方向。 关键词：多目标规划 0-1变换 最优合作对策 经济学原理 利润分配 一．问题重述 张三、李四和王五是自由市场上仅有的三个出售西瓜的农民，设三人种植西瓜的数量分别为
、
与
（单位：个），成本分别为（单位：元/个） 西瓜的市场价格为 （1）张三、李四和王五同时播种，且三人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息，在互相不通种植信息的前提下求各自的决策，以及在此决策下各自的产量和收益。 （2）若李四和王五按上述决策执行，但张三没有按上述决策执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量。那么，张三能否提高收益？其产量及收益分别是多少？ （3）若李四与王五知道了张三的上述“计谋”，因此，根据他们自己的种植量
，就可以推算出张三的种植量,从而推算出市场价格以及自己的利润。李四与王五为使他们的总利润最大，应该选择怎样的种植数量？同时，他们两人之间又应如何划分种植数量？收益各如何？ （4）若三人决定合作，问应如何合作？各自的产量及收益分别是多少？ 二．问题分析 本课题是一个根据市场需求情况，研究成本投入（即种植量）的决策问题。在决策时如何使市场各方利益最大化，这就需要研究本题涉及的相关因素，根据分析，涉及到因素有种植西瓜投入成本、西瓜数量及西瓜市场价格。据题干知种植西瓜单位成本受种植数量影响，西瓜市场价格受市场供需影响。经分析可根据相关经济学原理来建立利润函数。 在问题一中，三方拥有对方和市场完全信息但互不合作，这是一个决策如何使三方利益均最大化的问题。 在问题二中，李四和王五按问题一中决策执行，但张三没有按其执行，而是等其它两方播种后，再决定播种数量。这实际上就是在知道李四和王五种植量的情况下，求解张三如何调整种植量使自身利益最大化的问题。 在问题三中，李四与王五知道了张三的上述“计谋”，他们根据自己的种植量推算出张三的种植量,从而推算出市场价格以及自己的利润，进而调整种植量，使他们的总利润最大。这是一个在知道张三种植量的情况下，求解如何安排李四和王五总种植量使他们总利润最大化的问题。 在问题四中，三人合作，即三人对市场进行垄断。这是一个求解如何安排三人总的种植量，使三人总的利润最大化的问题。 三．基本假设 1．该市场为自由市场； 2．该市场上只有张三、李四和王五三人出售西瓜； 3．市场上西瓜的供需严格按题目的所给条件运行； 4．每个人都认为收益越多越好，即追求利益最大化； 5．所有人在经济活动中均为理性人，即他们的决策都是理性的； 6．当市